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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 vBx)%D^Wlj  
.&$ st  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. J/X)]D"  
ZxSO^  
　　1、三角函数本质： JY>*.  
ZfJde8"{E  
　　三角函数的本质来源于定义 RH<Gr?  
u3R?+x4  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 >5 <\N&+   
B} JH0H  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 v;0Bk I  
_\8h#:mQ  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： Ii22kt1+  
}'V25Wr  
　　推导： f ps  
hi2#?+n  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 <Ilp+q1  
u6,GB|^OG  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) [`HgGH3`  
QH?MT[:K  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) {}_&Hq5m  
g2}y> )  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 9*Ii@zK  
eF1OjxKr:G  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） 9o{<U&TIu  
,WKxdQ"  
　　[1] _O+~1\\[  
| k8M J/f  
　　两角和公式 {X q0*c*N  
5rsg*'q  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB >*@Fm8~  
tReecYhZ  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  _[G.\x!Q  
-&Cp/u  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB t}+}z%2  
cJ ;0u$1)  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB oh smZ  
*Z[@v?5YwG  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) ZI_:4\X\  
PDl8 eHgce  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) SF?F#$|&  
6+(U:iG1  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  548ow-tE  
K$AQQ;AEL  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) t *c y2M  
)3Rw+G  
倍角公式 G,Hl3w1  
V=M53o yF  
　　Sin2A=2SinA•CosA ` "wkZUU  
Vn"])RRv  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 cv6&x[  
r/ N^  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） yqAWe_  
%wy_n_<j  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） 9'q&`(f  
qC -f%N  
三倍角公式 cZ# l+dS4  
N 2$E}f.  
　　 Y K!#~oS  
-Tj ;xy>  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) ,:]_'  
z<=V|j]v  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) UuvS%GdN#  
rw|q1WHb  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) RsnLVQK  
@(GiK-<>I  
三倍角公式推导 xo5 R+AN7l  
# eh5D+;`  
　　sin3a `ZJ.R=+  
c DB3>  
　　=sin(2a+a) Oq2FR~(  
5 ^Wf. H  
　　=sin2acosa+cos2asina [cSFE   
qd& /E`D&j  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 9aw \m*!R  
T;oL}fS  
　　=3sina-4sin³a ZjHe'/!  
qplIJ+  
　　cos3a WRL?78}Gq  
c6PMJD!?  
　　=cos(2a+a) 9O8^|{7f  
07,y4  
　　=cos2acosa-sin2asina <$oR"e M  
m|6 mj7y  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa YpAL2A  
e%'$3EtCU  
　　=4cos³a-3cosa kr-#K:72  
0c\ ry|  
　　sin3a=3sina-4sin³a R#"GTk}#  
/# =|P~  
　　=4sina(3/4-sin²a) 0sb"(j4^  
( gh v14C  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] DhVVj7+o  
KaBC5TTe  
　　=4sina(sin²60°-sin²a)  tL Sddeu  
*s-?a lpf1  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) e@n#8E2  
'8WwOvN  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] uSFrVfGssM  
t0 ^p^M  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) l{O)'  
+ygA_)Sb  
　　cos3a=4cos³a-3cosa A+z*4_:Cf  
@49XdX;  
　　=4cosa(cos²a-3/4) [bi~_r_]  
gwCha9k2lg  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] @mnL)\}_  
8 Po)4 p  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) )AlDx$KE{q  
,NMq`)  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) z.>4i1{M  
Tu]NZ^  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} {Jv4 a  
Ea):"Ak  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) ,5`.E]1eg-  
aAS]|.+#Z  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] p #'1.)>  
x$q9Mpbp  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] D]raUmBN  
3? ANEK  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) _0,--*[jn  
x]?g2;  
　　上述两式相比可得 (L8CRCg  
20#WKqS  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) (+U%?T]<  
RRR~k^f  
半角公式 hx&# 'N`  
 y6o=&  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); hIy,.g"{!,  
! <A ?Cm%  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. e 3R= S_R  
m= Y;  
和差化积 8|h)y  
mz[ZF 4/e  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] # D/xvt~  
R.@Mu'  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] .[2ReOy  
"`(8Yw\wZ  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] UpE4*|  
'&Mj[X]"  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] _ A[Ym#  
ghm1h hi_  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) {KIwZZzb  
pN:R}]  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) G =~ }H  
gZ)p& NgU  
积化和差 qn54g^cuT  
y V@LU{q  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] \ _GJ)m <\  
jNp"bEH  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] Dy!RXf&  
BE$P[&|  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] KhPK6Sw77Z  
TY#zVF^T  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] V JL=L|  
KJ5\%lZr  
诱导公式 c*6f3&  
jr5o #N  
　　sin(-α) = -sinα n$B-si}0D!  
K9* 7Zb>  
　　cos(-α) = cosα THnZ+rU &  
$4a g/FD  
　　sin(π/2-α) = cosα :G:ns:  
Ln[_VvE  
　　cos(π/2-α) = sinα e,LZaD  
{ 6eC~rP!x  
　　sin(π/2+α) = cosα HXg&v9|  
vKj^=wH  
　　cos(π/2+α) = -sinα &6N7cW ;,  
-," -uQX  
　　sin(π-α) = sinα ;;oQeWDb g  
C-p,B  
　　cos(π-α) = -cosα 6 [!&4.GK  
5o4Igmj  
　　sin(π+α) = -sinα AHH3 xw  
1fOv.'  
　　cos(π+α) = -cosα "u&&9 27  
c zX&>~^  
　　tanA= sinA/cosA %p;1-8jE  
',`>:/L=  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα D a(':k  
P!ZV'r!|4  
　　tan（π/2－α）＝cotα rYvMl94}t  
k$|v,.}  
　　tan（π－α）＝－tanα ElPAB~1{{0  
s=K#K"  
　　tan（π＋α）＝tanα D6c3a4qv!  
 5X|KcAp  
万能公式 _))'_ t  
QWwY.:!Ja  
　　 (\'FM z]h  
_nnE?`C  
其它公式 \9s"cPf  
Bv5*%<0~  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 9 EP[h6:  
3[xk>KvYt  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 ]+xZm63n7%  
jQ hs5  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 ?y9u|]* ^  
=u) <JS  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 3^^2Hos  
5OQ.M`t  
　　对于任意非直角三角形,总有 |A~b @&#d  
/Z\xI$@\O  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC M|aU-<~  
4beX!jtq  
　　证: F;0tg*  
ZUtFFAB  
　　A+B=π-C OzcoTI~  
Q >):r"  
　　tan(A+B)=tan(π-C) "m3%r o[  
B]c4,ASw1  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) \V7lFn]^  
y?yVdRp  
　　整理可得 gr^c KRx  
Tz(<um)  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC >=!)[(S49  
j IHq[;~  
　　得证 #}=n^A5  
FZr/d(hb5r  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 VwQ[Y RM  
|>,I7'g=X  
其他非重点三角函数 80lE+vR_  
.n2"FWVf  
　　csc(a) = 1/sin(a) -CSUu9  
Fcb\k_wVo  
　　sec(a) = 1/cos(a) <0Y9n7q@  
R4bSL_L  
　　 bVd]1Q>k  
1K|(v\z  
双曲函数 ,U6g}*i~-  
l3DxZ-c  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 {\siV6:d  
g#H,zAmI  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 _&W D$~P  
{CK+S  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) ]i@? TSF$  
c5u$ ;  
　　公式一： 5:QrT/ Q  
~P2l.s  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： Dh5+P%E  
!O7!0/tggN  
　　sin（2kπ＋α）= sinα QL4a4KNcq  
tx gaB99_4  
　　cos（2kπ＋α）= cosα ;h^|)5|=%  
R#2JIcK(  
　　tan（kπ＋α）= tanα V[E8Llm  
KL%_Y3%-  
　　cot（kπ＋α）= cotα 7/]Yun~w  
wq1Rh7 sk  
　　公式二： _RG$t&w  
WBfWhbm )  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： L9$[HqUC  
.phO>,ce  
　　sin（π＋α）= -sinα j_)e9kFym  
.[p:~nS  
　　cos（π＋α）= -cosα n\!A|o   
)"v;v  
　　tan（π＋α）= tanα kL~Fd=9&  
WfwYxd2Y  
　　cot（π＋α）= cotα 7c jIn3  
|2"#tWdJ  
　　公式三： dq-+d0)@q  
,$NI]]\  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： j3`!NA  
#o'2K.XL  
　　sin（-α）= -sinα ?Pps! j{G  
"M]@rWNR  
　　cos（-α）= cosα vkUHy Ml  
8 e(F')Gy  
　　tan（-α）= -tanα KCRlh?90t  
7> DD]$g  
　　cot（-α）= -cotα "nR8P vk  
 |:1yYe  
　　公式四： !Z`W:L  
4e4a6PL*  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：  y_iB*  
gtvgt0y  
　　sin（π-α）= sinα W7&| M*=*  
,'x=j  
　　cos（π-α）= -cosα 81;*|nW-d  
bW/mW   
　　tan（π-α）= -tanα vbrb`q  
EK PBC[r  
　　cot（π-α）= -cotα 7{ZBk *  
D:}uI  
　　公式五： TP] 8qreO  
DU8<E/x_*@  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： q/}D%'  
yt }~JXnn  
　　sin（2π-α）= -sinα wn{U''k;  
=.aH!'gp  
　　cos（2π-α）= cosα  t=*  
,|2"jZ[  
　　tan（2π-α）= -tanα 6A2/O/  
@7!vH6!ZH  
　　cot（2π-α）= -cotα '"5$S  
#u8tB.)ux  
　　公式六： CFc@:RCt<  
c:s 9u  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： n-Y}Y+&  
kz.^QE>9  
　　sin（π/2+α）= cosα _12"8r}7;T  
v^pD;j'Z  
　　cos（π/2+α）= -sinα Hj }F>vm  
Z|\]5.+n$y  
　　tan（π/2+α）= -cotα vTy6tcl  
gQh1f-B@\8  
　　cot（π/2+α）= -tanα I7S> -N  
nb_V 4 aB  
　　sin（π/2-α）= cosα p $:$6Q?!  
X.>bO*/*R  
　　cos（π/2-α）= sinα GKa93x-v  
@ YZF-"EY  
　　tan（π/2-α）= cotα Q'T38#  
10 {'h6Lu  
　　cot（π/2-α）= tanα XaA,D`  
A~C 4(l}  
　　sin（3π/2+α）= -cosα HFN b+Yvj]  
X~flv)  
　　cos（3π/2+α）= sinα Ru /D)k=S  
MtbZ;~eSi  
　　tan（3π/2+α）= -cotα `@|3<cnd  
j uoeR-x+  
　　cot（3π/2+α）= -tanα ,1':x6  
|NWR<&n  
　　sin（3π/2-α）= -cosα .Yeng.2H  
.R{M[x5.  
　　cos（3π/2-α）= -sinα hT81yBG  
2**np\  
　　tan（3π/2-α）= cotα RuteV_Xa%P  
OOP0h~R$!  
　　cot（3π/2-α）= tanα q5^t+U  
R PQfS:~   
　　(以上k∈Z) ?A 0SIe 5^  
*7k+fzGUi  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 zecrW&%\Zs  
\GdO)/; h  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = ?Ah,2H Mr}  
*7q;[\ k  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } 2hAi |Vt  
7@nA,n5  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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