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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 vBTaLc4~  
k \O4 N  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. fOS9{6/6  
@[X@?\s  
　　1、三角函数本质： .<G=RdsT  
`,=Q N~  
　　三角函数的本质来源于定义 E' ~;| @n  
dzzwF  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 T6uqQ  
C[* P?iP#  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 ]xHT_-rc  
zbgX'Box  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： + ] GkU-  
:V;D  
　　推导： P3=}v:fu*  
cusf2  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 \qAcxpn7  
5 (?9:  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) h9purRyN  
Dt;TZpV(N  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) TGD)/ze~  
b8`[* k  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 ;w!$E)^X9  
lHZ7 >A:  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） h6)z9SUe  
oo&KR'52  
　　[1] "*v-OYLz  
9WSj/yv  
　　两角和公式 fLTaa>:@  
mljhj363  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB E.T|xK;-qM  
$A!^Rb  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  ]nsc,c&  
_ 3D7N"D  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB hCNarztp$  
TAFDw>o  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB G{%9R"2%Y  
H#1q[] n  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) ;+D=ZO8h  
j1$c'Sf\`  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ,w1=gMHf  
h__b(th[!  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  4a>eSl,m  
ZU~Rrq!Y  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) # KcQ[0G[  
'/Nru9Y F  
倍角公式 in-*&E  
nH@bkt+  
　　Sin2A=2SinA•CosA {yZt}oj  
W6rw.k(  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 CUf WJE  
yvi@a@u]U  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） 1x4Ju0a  
#*0 ra ^  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） }nI4ea)m   
0&FG#g2Y  
三倍角公式 wfb =J /  
 X\\#d) *  
　　 7@=dJ4Fb  
v{Hr!MS  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) K*\ 0hZZ3  
CABl /9  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) o^+=gj]DU  
2:nYBwob  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) .IG 4pf  
`+q'y2Hz0  
三倍角公式推导 ?q{4I'  
&#l[77et  
　　sin3a $#MgCa ,  
X!-) e  
　　=sin(2a+a) 6Q"Bj1  
Cc0?%cK  
　　=sin2acosa+cos2asina qA ws/&c&  
j*D|  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina Sna{PxZ&  
<9uYLe?$  
　　=3sina-4sin³a <Q8.9-Z`  
\-0}9y3  
　　cos3a o e0)R xy  
Mn^~`]/7  
　　=cos(2a+a) gfw  
Z0"{.5z  
　　=cos2acosa-sin2asina Uz5F "L  
B/ ~Ishk(  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa -F~c"1R<  
r*HKYYW Q;  
　　=4cos³a-3cosa ;d"K[(2\Tk  
}c%eh=R  
　　sin3a=3sina-4sin³a z`-= P  
#\mui[5LSH  
　　=4sina(3/4-sin²a) |GpJ]ACu$M  
Ox'Y~";  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] A`{G x!dr  
JaE;mQ,}  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) s-thTfe8J  
0 zwxgBA  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) u&L2w;  
WrWBymBa  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] [dkN ;Q\7  
4`wl@Y3,k  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) c'jYT.,d  
W~N6(i<vB  
　　cos3a=4cos³a-3cosa VbwuCGSK  
=R\$n ~  
　　=4cosa(cos²a-3/4) \;Ig3PS)  
"$Qp1SRF  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] G%,j~ (V3l  
z*+]k/TAge  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) :L^t4XT),0  
IN[*e`}  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) ;-:GX pt  
g69.#5l:  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} sL Wq@eX2  
tL\E;7  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) N7W&z]t=~{  
2X D \2Z.s  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] I!NZ{,0  
8D4^SMa  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] b*:(3j G  
zg://<  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) jKI:E`QqJ  
C/T5" -_Uw  
　　上述两式相比可得 o}]"l6RN  
DTjk.(T,  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) C"pg)6/Q  
I'0ni  
半角公式 |l$];- i  
F]?P^;2ei  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); ;Bw^\FLc'  
b[uW*g:B  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. YhL$?:]D  
(.A+r %w`l  
和差化积 MZnv(C^K  
Rh!+LlF  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 'e_#-*d  
T&*$:J#  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] <Tf]e} W  
/dTU*mqZ  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 'OYWjC=   
28) {@g  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] h ?13yn2  
7 M)=D  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) Y RI.D%.>  
q:P6@!`fi  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 0z"l"2  
GKRlyu ~  
积化和差 ZWXG$  
r4uENjx1  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] T%F]El  
vD,8v'm[8  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] eiU&;JK  
c,\2?~=~  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] M 9E+}RJX  
mO328.>  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] > @}U  
U:SE~5G  
诱导公式 S{.W_0sJ  
oKI5H$UK  
　　sin(-α) = -sinα pjq8`T5S  
w}/`/PGD  
　　cos(-α) = cosα !L8rh"H6  
C\YbpST?  
　　sin(π/2-α) = cosα 4: 1^r  
G3Md2i9  
　　cos(π/2-α) = sinα "%[-lAK7e  
AsKTRstUS  
　　sin(π/2+α) = cosα `n+w2~m~  
Zu,!%51 MF  
　　cos(π/2+α) = -sinα VEcH4+p;  
'$Bxe0|  
　　sin(π-α) = sinα  <3m_s^3  
I: z'5xk  
　　cos(π-α) = -cosα Y e*$S4enM  
aU30,2e  
　　sin(π+α) = -sinα 0< 4Z Rd  
RRfs 4B22  
　　cos(π+α) = -cosα zIJXE v;  
<Ui(a,Lx  
　　tanA= sinA/cosA 2zk#;N{\  
tz& M e"xP  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα XKEzib2  
|s/ wm7D  
　　tan（π/2－α）＝cotα b1NO0#2qO<  
:ngH,i~   
　　tan（π－α）＝－tanα ,hh omd=  
%wp7D=.4L  
　　tan（π＋α）＝tanα m9;}>3` \|  
HfzVfn  
万能公式 R$^b*5  
>$72vRx  
　　 j!S~U._)m  
Cw 7)2  
其它公式 UU(-n.  
u?k"5T:v u  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 H`Ln("BP&  
W]#Im<V~  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 3c*7G"n#R  
i#_smz*{W  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 o6f'^  
9' |&aa9r  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 &! Wx,t  
rboWYfC8:d  
　　对于任意非直角三角形,总有 u8oG9dh  
L uv-L  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC gL]C(g<)y  
m!n2m*R+"  
　　证: N<O(^;Nu  
(x ; .W#7  
　　A+B=π-C 18P9 ,/  
DM7+)7?  
　　tan(A+B)=tan(π-C) _U[Xw2aI0  
& tXWw%  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) j'l6&Lqh  
bMaYdE  
　　整理可得 tLUp7  
k:@);q-6)  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ._FE "f>  
?tF/U*Nu  
　　得证 5U*6=Z9E  
&=|5/yD7  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 Od IUu&|  
r h5 &'  
其他非重点三角函数 Z!g6 ip  
Ark;~P\]  
　　csc(a) = 1/sin(a) q\?b':ju*  
VMU|f5 u  
　　sec(a) = 1/cos(a) W~nN9%WJF  
G#^q(wI<  
　　 2la P qu  
j<d1%C:B!  
双曲函数 AFrdOv[hLL  
or%H+;Gv  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 :'h)iYDns  
ln+x ESo  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 ZDS@#qAqH  
ahAI@  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) SFh]Z{4$ %  
}YeRV  
　　公式一： =8rWyW.  
+)rkO_  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： G6[{Y6%  
^VCmN/d  
　　sin（2kπ＋α）= sinα B%=0 H #K  
3_u8VaNl  
　　cos（2kπ＋α）= cosα  Z(NT\DmC  
.W=i6 Dl  
　　tan（kπ＋α）= tanα " ^r7C,  
dGQ| 6  
　　cot（kπ＋α）= cotα Bx,G7lFn  
W'> S~uR  
　　公式二： Iz8[[WG:  
`v(&8xA;U  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： >` Ppr0L9  
%m6*s&p2[  
　　sin（π＋α）= -sinα Q {C2v  
L)%rqXz/{  
　　cos（π＋α）= -cosα pF:'(%Y  
JQ9f {S  
　　tan（π＋α）= tanα l[+P (;  
tE2! TO  
　　cot（π＋α）= cotα \& B^]pt  
31gId[K`9  
　　公式三： @]>6>2eb  
c,iD6)i  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： '1.MSWxF  
2*4B{X  
　　sin（-α）= -sinα pI5 F8DJ  
;V()Fcz6  
　　cos（-α）= cosα S|?;-1|  
DD RLhS3t"  
　　tan（-α）= -tanα eU0.x=R  
^4d r>Ob  
　　cot（-α）= -cotα @^<"j>ux  
eitK R$  
　　公式四： L|)W8  
<q>x3d:t  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： Y0a4V,^Q6a  
t=Bfvg)  
　　sin（π-α）= sinα aG66F~nq(  
 M5:  
　　cos（π-α）= -cosα 3":|Nq  
Au_.cTk&sG  
　　tan（π-α）= -tanα 1EfHq0\9NZ  
a+ f U=  
　　cot（π-α）= -cotα LSwySV3  
QcU:]z  
　　公式五： UOCA@tF,"5  
J2;'y_;a8  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： g\qzhs`  
tw{%%4my  
　　sin（2π-α）= -sinα Blu ]F  
|& QPbk  
　　cos（2π-α）= cosα {%!w/'  
M7d/[,]  
　　tan（2π-α）= -tanα Swd TcE[  
g_0 Dt?P:  
　　cot（2π-α）= -cotα N~P ),&K~p  
[^E,qP  
　　公式六： ::Q6Wzk  
K+CCIi  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： 2_pWH_P%r  
3P C4vr  
　　sin（π/2+α）= cosα MB#D  
%TU0h5)<K  
　　cos（π/2+α）= -sinα Q60z/5  
VI)1W2[  
　　tan（π/2+α）= -cotα 6?n$_fpn  
{g/`aC|S?)  
　　cot（π/2+α）= -tanα 9N5P1e 3J  
6'%qu(L[J>  
　　sin（π/2-α）= cosα &S[zs%9&b  
tI n8,v  
　　cos（π/2-α）= sinα Y~VhFD`   
DN V6LU]  
　　tan（π/2-α）= cotα X?'H+`?  
oz^e!:]&  
　　cot（π/2-α）= tanα Nmv',+zY\  
Nh`h_} w;  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 0h"M?ulf  
g{k9wV7i  
　　cos（3π/2+α）= sinα Y=5arcPG  
3.@BOjEGt  
　　tan（3π/2+α）= -cotα S7Q%`  
,)GW t~S }  
　　cot（3π/2+α）= -tanα M7@tk=]K  
\rL)~@m  
　　sin（3π/2-α）= -cosα DX0Lzr~-  
G{{ t  
　　cos（3π/2-α）= -sinα ^!%U3 r=b  
${}$cYWf  
　　tan（3π/2-α）= cotα ?(stC[Q9+  
dv2Zaf!N,  
　　cot（3π/2-α）= tanα suCBD3:  
nqe.e Ric&  
　　(以上k∈Z) vz!<;D#jd  
@wZB+xxh  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 b1syIH|F  
8Zev3%`I o  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = t>>s jv  
<*u^*>a/  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } { ,lsb :  
lWEeroQr@  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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