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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 /8Izym]  
cc0_G]D`r.  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. Cd"<A  
5D?O[]:\  
　　1、三角函数本质： FTJ LO{[C  
^i;VL?a  
　　三角函数的本质来源于定义 rPuD!f_  
' YOB#  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 d\s0rkV7~  
w #p }@~f  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 8(6w /mg  
-` BAl[y  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： %L]'q?QAd  
s#v|Y.L<8  
　　推导： vU&=)~{<Z  
>r tJNR  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 HWg<ft]  
I7j}lfNf{  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) R[g1P2dNmk  
$puY.#`q  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) )v%:5)\q  
Q~!1!  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 cs & IY  
_Iov`  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） y*n^C}  
;h)2?"'  
　　[1] \ h!.nVqN  
ORV?CKH  
　　两角和公式 QSyfYFoRO  
('r7Qaf  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB :cIr~v>  
"E3pG/Zp  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB   4=U#bT  
B!$+LsiDr  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB #$C:Jq4j  
i0rZGtHc'  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB a<QXa4;  
q@n(fAb.  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) suKejeQb  
gfZo N6  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) .Kup$6  
lGg@M)nK?  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  [91HNgg  
d$^l-*fjG  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) Z /" (?;]  
pv3R$=g"  
倍角公式 5OzJyk  
"dkPek8yc  
　　Sin2A=2SinA•CosA r =jJr [  
w=^5or,5  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 =J`G(^ 1  
z(|~T)S8  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） mc_>!8]Sl6  
y _ d~OQ  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） ?fm.{u  
bLA.vT[^M  
三倍角公式 rsVa=q  
<\|ujQ\1  
　　 XF 2m)} 5m  
qgN_ZcH  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) o'B=}pf  
mlXm3F5  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) zcR2MFB  
zfesuueS  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) h\~G$~LuB  
V/Ca>m~%  
三倍角公式推导 x@wFFcfm}  
GqpM|"j  
　　sin3a uM@ U3JFx  
&[ADo'L9  
　　=sin(2a+a) v:lFIi  
g~tFH=c  
　　=sin2acosa+cos2asina tm?~D<3Zh=  
j'D&m^oC  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina `p 6K 5V  
Rq"tA69"  
　　=3sina-4sin³a HxRfaWE_9  
2/:v K'  
　　cos3a m5*RDqe  
1FHvWr8vm  
　　=cos(2a+a) " kf;fGbp  
E3E7(O3G~  
　　=cos2acosa-sin2asina c !j'\de  
9J?G2  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa @2yok [3  
+Cer]q{ nj  
　　=4cos³a-3cosa ] (p"#eV  
j Cl?12X  
　　sin3a=3sina-4sin³a LEwx`6-  
0|z3Nu h5  
　　=4sina(3/4-sin²a) o=4vj}0v  
vTd'W UM  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] Vjyb|);f  
9|}?-+% C  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) l7ZiiCYR:  
0-n8CEo8  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) Msu3oK_]S  
rfKGp_`V  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] oau`:b  
Q-l3|T([  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) YGIUb ;  
ItJy=|g[]  
　　cos3a=4cos³a-3cosa x*?_z?  
2 AqXW  
　　=4cosa(cos²a-3/4) _/gix$c  
 W@p>4/*l  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] }ay!a4"  
!} @pEB=  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) n*JF3<0  
EK T6l"  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) : @IPX@RK  
hu] -)8Q#  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} $6>Z~O$  
sE*h]W  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) i]oO|` C  
;cPb<5[a;  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] i}G;Vx QM  
/<9LC&\  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] ,AB|nV[Urk  
S]q&95-  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 5U0H=\<  
bE>TL2O5  
　　上述两式相比可得  ?RDw=  
iOvN*H0_J  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 1X .6OOu  
~6-[-Er5G  
半角公式 0 <T-  
a)L_R/p*  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); YxM=xMtc?  
. >fVnY  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. oxW;|*Q.|  
D( >2Y0g  
和差化积 AHFIQJp!i  
UQVJh  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] <Z`h61Gw  
,mKC@  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] S=htrgan  
GL\_"b  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] s/+#uW  
"oki,BtM  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] /E,6KvLii  
3n/'-cV3  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) [B1SD%X  
CgI (=Z=`  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) ?VkZoqWn  
=c*(H_\YK  
积化和差 / 'bWF  
_qu!u K  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 7bp.b#G:'t  
b -5_ +T  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] vcE2B4D!  
8B|maLQ}~D  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] ,D<ZL[`|  
~o,o)TR  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] "OHU12HC0  
?5/lBZq  
诱导公式 M #PUPN  
/g BOs  
　　sin(-α) = -sinα )n5I0cw  
bu7/S$  
　　cos(-α) = cosα YL H[  
2)4a '  
　　sin(π/2-α) = cosα 1Ftk1tl V  
SY4eJmka/  
　　cos(π/2-α) = sinα ;=bzne2p0  
Q!,g+-V.  
　　sin(π/2+α) = cosα 1wu-swZ_f.  
l'XHB  
　　cos(π/2+α) = -sinα GxK|q)D  
q5;zKU&$  
　　sin(π-α) = sinα S;{9^o+  
b I>ZGi!-  
　　cos(π-α) = -cosα NTL$zM{cP  
*4m^@=%:D  
　　sin(π+α) = -sinα d9j(?/A}  
@0Wy[6 I  
　　cos(π+α) = -cosα ;=jb]c2eM3  
&#Z*$:&  
　　tanA= sinA/cosA ]-%f_WY+9*  
uIK} # 6B  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα C}L_  
%GGM '  
　　tan（π/2－α）＝cotα |9 F_$1  
z YP  
　　tan（π－α）＝－tanα 5zk`UgfT  
{}9m8<IS?  
　　tan（π＋α）＝tanα -w@W,R(4Y>  
n88q1!)A  
万能公式 L*cy"V$\  
D``OaD["  
　　 $4rH;<  
B+<i9 ddn  
其它公式 aQAbY0  
Oak:yE-oP  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 oo2+MR#  
rjgHv*  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 aQc'em;r  
HoK'iw^  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 DTf*S5h  
+%E!k0~.?  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 %3bv&2UG&  
=(^E>R."vf  
　　对于任意非直角三角形,总有 DPiWC)A  
H Fc/c.  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC / At`  
gI}Fp @  
　　证: ]'{ePGF2^  
hQpD]B<LZ  
　　A+B=π-C ac- ?c"hP  
$SOsB{  
　　tan(A+B)=tan(π-C) v} QnBy  
b4'-@x2c  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) $9;_v@OsT  
3hDkPbr  
　　整理可得 d"CfDD,`hT  
'-j;FFN  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC t$!dCb C!  
V}`Na@  
　　得证 $;|>* U   
Rqd)|t:.r  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 e3;pFOhJ  
Y?Q1D<zKk  
其他非重点三角函数 H 'pnk  
M=h4Yv  
　　csc(a) = 1/sin(a) AAC~j'_TFB  
H_N1\5h  
　　sec(a) = 1/cos(a) 9pvZezi@  
+%?V!b $s  
　　 }aVz[oO  
LzJ'^Ahva  
双曲函数 eNoL2UQ  
aB65$W  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 X-z!/-!  
z!O#}tI  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 $n_ZZN'FF  
,{YbD['RFT  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) Rg eiT  
$,[Pt3 n@  
　　公式一： c'XT9)r7^  
!*1?$J  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： &'V2lS_  
+ {4W);|&U  
　　sin（2kπ＋α）= sinα K ._`iQ}  
&uT: fE^Y  
　　cos（2kπ＋α）= cosα + {=l_E  
Ig|XfjFhz  
　　tan（kπ＋α）= tanα 7j$GxPHS  
aLTzv+k  
　　cot（kπ＋α）= cotα hbY/7T`  
uj^8'D  
　　公式二： mh5Z[51t  
$i)vF<!%  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： v\4zJ3rGA  
3liTV=6  
　　sin（π＋α）= -sinα wrj`#k0  
sKo*@  
　　cos（π＋α）= -cosα NEg&4p:  
4;0OU41v  
　　tan（π＋α）= tanα m7C" 'z~  
$*/k)7  
　　cot（π＋α）= cotα &9=0C50^?A  
b:+js7<#9y  
　　公式三： Db1p\Hr  
=MZi1~ j  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： B +&41Y  
n0}{e"  
　　sin（-α）= -sinα feG3T^U  
`@XPhGLW~Z  
　　cos（-α）= cosα E/]" (  
zk] CG4  
　　tan（-α）= -tanα NdMcjBDX  
dWj1U  
　　cot（-α）= -cotα (8dV"2!"  
>!N9SGw<  
　　公式四： 6=:f' MM  
S PID{?{  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： 9?- c{N  
KN'@Q6G}a  
　　sin（π-α）= sinα '>rPW* .  
fKHLhs|  
　　cos（π-α）= -cosα ,^>@|(3  
>LX3\[>zw  
　　tan（π-α）= -tanα })sn. qr  
DVVeFO+  
　　cot（π-α）= -cotα +S^hK'v  
z\0'uM'F  
　　公式五： ww&w   
Io8lkCe=Pa  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： CctW3ed  
hE9|s21@  
　　sin（2π-α）= -sinα (b>.e"Kt  
l >.i::fGh  
　　cos（2π-α）= cosα 2 x?i63Tu  
(xeK{ 8h1  
　　tan（2π-α）= -tanα 3ioJ@k  
K A( 2G,  
　　cot（2π-α）= -cotα C[5yaw%6v  
M+U%WC !w  
　　公式六： jG*Kof&%`  
CD1+7J:  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： A&x!;Z  
fe`6.^VC  
　　sin（π/2+α）= cosα K!q@Lc^F  
*|\9Y+ xO  
　　cos（π/2+α）= -sinα X7r,nY>V  
8 &n`oH  
　　tan（π/2+α）= -cotα *$">vXhr!  
9w4:]xYdf  
　　cot（π/2+α）= -tanα zFNf!t=  
6e"R $8ZO  
　　sin（π/2-α）= cosα f+xM$6-  
3 J@MNM  
　　cos（π/2-α）= sinα -U[+d$qH*  
>z9CHdE'n  
　　tan（π/2-α）= cotα Tz>q``9|  
p^hIG54)F  
　　cot（π/2-α）= tanα ;Jp'=  
j`_=F;}  
　　sin（3π/2+α）= -cosα "[b)Qg  
T4V%Mw%  
　　cos（3π/2+α）= sinα g[ 54&$"  
-!*UF[  
　　tan（3π/2+α）= -cotα hrZRVu0O7  
bHhF!/\M  
　　cot（3π/2+α）= -tanα ^`1!g-v*  
]aNC=7pCY  
　　sin（3π/2-α）= -cosα 4Bl;; ef  
}=v4wLe  
　　cos（3π/2-α）= -sinα &\vItuY3&  
T*L4'@k  
　　tan（3π/2-α）= cotα hJvtpHC@{  
Wd0%0 #=  
　　cot（3π/2-α）= tanα e@D?Nh;1  
x)5F+ _L  
　　(以上k∈Z) X:a;0&3  
[ P7%B~3a  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 e~Gec T  
wUa'`M1a&  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = :MhddSK Z  
6g^q&+y.  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } "lI$`$g  
S#{mqY *  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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